garis singgung lingkaran

garis singgung lingkaran

Oktober 21, 2017

Persamaan garis singgung melalui sebuah titik pada lingkaran

Garis singgung pada suatu lingkaran tepat bertemu dengan satu titik yang terletak pada lingkaran. Dari titik pertemuan dari garis singgung dan lingkaran, dapat ditentukan persamaan garis dari garis singgung tersebut.

Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $P (x_1, y_1)$ , dapat ditentukan berdasarkan rumus persamaan lingkaran yang dijelaskan pada bagian sebelumnya, yaitu

Bentuk $x^2+y^2=r^2$

Persamaan garis singgungnya: $xx_1+yy_1=r^2$

Bentuk $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Persamaan garis singgungnya: $(x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2$

Bentuk $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Persamaan garis singgungnya: $xx_1+yy_1+ \frac{A}{2}(x+x_1)+ \frac{B}{2}(y+y_1)+C=0$

Contoh Soal:

Persamaan garis singgung yang melalui titik (-1,1) pada lingkaran $x^2+y^2--4x+6y-12=0$ adalah …

Jawab:

Dari soal diatas diketahui persamaan lingkaran nya adalah $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ dengan A = -4, B = 6 dan C = -12 dan $x_1=-1, y_1=1$ .

PGS adalah
$xx_1+yy_1+ \frac{A}{2}(x+x_1)+ \frac{B}{2}(y+y_1)+C=0$ $x(-1)+y(1) - \frac{4}{2}(x-1)+ \frac{6}{2}(y+1)-12=0$ $-3x+4y-7=0$
Jadi persamaan garis singgungnya adalah $4y=3x+7$

Persamaan garis singgung dengan gradien

Jika suatu garis dengan gradien $m$ yang menyinggung sebuah lingkaran $x^2+y^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya

Jika lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya:

$(y-b)=m(x-a) \pm r \sqrt{m^2+1}$

Jika lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ , maka persamaan garis singgungnya dengan mensubtitusi r dengan

$r= \sqrt{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2- C} = \sqrt{\frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C}$ , sehingga diperoleh:

$(y-b)=m(x-a) \pm (\sqrt{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2- C}) \sqrt{m^2+1}$

atau

$(y-b)=m(x-a) \pm (\sqrt{\frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C}) \sqrt{m^2+1}$

Persamaan garis singgung dengan titik yang berada diluar lingkaran

Dari suatu titik yang berada diluar lingkaran, dapat ditarik dua garis singgung pada lingkaran tersebut.

Untuk mecari persamaan garis singgung, digunakan rumus persamaan garis biasa, yaitu:

$y-y_1=m(x-x_1)$

Komentar